일상의 미적분: 미분하고 적분하면 미래가 보인다.

Calculus라는 단어가 있습니다.

대학에서 이과를 전공한 사람이면 이 단어가 금방 '미적분'을 의미함을 알 것입니다.  그러나 치과의사는 '치석'을 의미하는 단어라고 생각할 것입니다. 둘 다 맞습니다. 그리고 둘 다 어렵기(hard)는 마찬가지 입니다.

미적분이라는 단어 자체를 입에 올린지 몇 십년이 지났는지 모르겠습니다. 미적분의 수학 기호는 어떻게 되는지 잊은지도 오래되었죠.

수학을 전공한 아들과 최근에 나눈 대화, 그리고 오래된 기억을 되살려서 한번 구성해 봅니다.

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수학의 기본정리라는게 있습니다.

수학의 근간을 이루는 기둥과 같은 수학 원칙이죠. 이 중에는 미적분의 기본 정리라는 것도 있다고 합니다.

내용인 즉슨 ,
미분과 적분이 역연산이라는 것입니다. 미분은 잘게 나누는 것이고 적분은 쌓아 올린 것이니 당연하겠지만 이 당연해 보이는 원리는 수학의 위대한 발견 중 하나라고 합니다.

 

미분은 어느 한 순간의 변화량과 관련이 있습니다.
예를 들면 일정 시간에서 거리의 변화를 평균 속도라고 한다면 어느 일정 시점의 속도가 미분에 해당됩니다.

고속도로의 구간 단속이 평균속도라면 속도계가 설치된 단속 지점의 속도를 재는 것이 미분값에 해당됩니다.
미분은 따라서 제한된 영역을 다루는 것이고, 함수의 특정 지점의 기울기를 공부하는 것이며, 이는 함수의 일부 정보만을 요구합니다. 따라서 국소적(local)인 성질입니다.

 

반면 적분은 그래프가 감싼 공간의 면적을 계산합니다.
이를 위해서는 함수를 전체적으로 파악해야합니다. 따라서 전체적(global)인 성질이 있습니다.

얼핏보면 기울기와 면적, 국소적과 전체적이라는 상이한 성질의 두 연산이지만, 이 둘은 서로 반대 연산자이며 역연산임을 발견하고 수학자들은 놀랐다고 합니다. 이 정리는 아이작 뉴턴의 스승인 Barrow라는 학자가 발견했다고 합니다.

 

이 역 연산이 의미하는 바는
총평가는 순간의 총화(summation)이라는 겁니다.

 

이런 장황하고 골치 아픈 얘기를 어렵게 풀어놓은 이유는 이것 입니다.

우리의 삶이 연속함수라면,
특정 시점의 일상을 미분해보면, 그 사람의 인생에서 일정 시간이 흐른 뒤의 영역 즉, 변화의 총합을 유추해 볼 수 있다는 겁니다.

 

결론은 당신의 인생이 연속함수라면
"당신의 일상을 보면 당신의 미래가 보인다."입니다.

 

그렇다면 우리의 일상은 무엇으로 평가되는가,
그 부분은 복소 함수로 해석해 볼 수 있다고 합니다.

복소수는 실수와 달리 1차원 선이 아닌 2차원 평면에 표현합니다.
코시의 적분 정리라는 것에 따르면 (함수가 미분이 가능하다는 조건하에)
한 지점에서의 함숫값은 그 주변의 값에, 정확히는 그 점을 둘러싼 궤적을 따라 적분한 값에 좌우된다고 합니다.

즉 어느 한 지점의 좌표는 주변 값을 반영하거나 주변 값에 좌우 된다는 겁니다.

 

마무리 하면 이렇습니다.

<당신의 일상이 당신의 미래(를 좌우한)다>

그리고

<당신은 당신의 주변(에 좌우된)다>

 

오늘을 그날처럼...

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이철규

2019년 4월 22일 ·